Logo de la ANEM   Guía para estudiantes de matemáticas

¿Qué son las matemáticas?

Ahora que has entrado en la titulación de matemáticas lo primero que necesitas saber es qué es la ciencia y cuáles son sus ramas. Desde los tiempos en la antigua Grecia, el ser humano siempre ha buscado la verdad y el conocimiento del universo y en esta búsqueda se ha planteado cuál es la mejor forma de conocer. Los pensadores griegos encontraron en la razón una fuente de sabiduría y se dieron cuenta de que necesitaban un conjunto de reglas que dirigiese esa búsqueda. A partir del siglo XVII, apareció el método que definía estas reglas y, con él, la ciencia actual.

El origen de la palabra ciencia viene del latín, y su significado es “conocimiento o saber de varios campos”. La ciencia se puede dividir en dos apartados: ciencia empírica (la cual a su vez se divide en natural y social) y ciencia formal, que es en la que nos centraremos dada la naturaleza de las matemáticas. Una ciencia formal utiliza razonamientos basados en reglas previamente establecidas (axiomas) sobre objetos abstractos para llegar a una conclusión (teorema). Es por esto que escucharás muchas veces que "las matemáticas no sirven para nada", ya que una ciencia formal no se estudia por sus aplicaciones, sino por sí misma.

Hay muchas diferencias entre ciencias formales y empíricas: el objeto de estudio (ideas frente a hechos), el método de análisis (deducción frente al método científico) o las comprobaciones que se realizan (demostración frente a experimentación).

Axiomas

Los axiomas son los cimientos sobre los que se levantan las matemáticas. Un axioma no tiene demostración: simplemente asumimos que es cierto, y en base a esto trabajamos para ver a dónde nos lleva.

Axiomas de Peano

Los números naturales pueden parecer algo sencillo, pero definirlos a través de axiomas requiere de mucho cuidado. Llamemos $\mathbb{N}$ al conjunto de los números naturales, definido a través de las siguientes propiedades:

  1. El $1$ es un número natural, es decir, $1$ está en $\mathbb{N}$.

  2. Todo número natural $n$ tiene un sucesor $n^{*}$.

  3. El $1$ no es el sucesor de ningún número natural.

  4. Si hay dos números naturales $n$ y $m$ con el mismo sucesor (es decir, tales que $n^{*} = m^{*}$), entonces los dos números coinciden, y tenemos que $n=m$.

  5. Axioma de inducción: si el número $1$ pertenece a un conjunto $C$, y para cualquier otro elemento $n$ del conjunto $C$ se tiene que $n^{*}$ también está en $C$, entonces todo $\mathbb{N}$ está en $C$.

Nada divide más a los matemáticos que la pregunta de si el primer número natural es el uno o el cero. Aquí, por simplicidad, vamos a empezar por el $1$.


En la sección de demostraciones verás qué significa el axioma de inducción.

Estos axiomas definen perfectamente a los números naturales. Pero no explican, por ejemplo, cómo se suma: hay que definirlo. Decimos que la operación de suma toma dos elementos $n$ y $m$ de $\mathbb{N}$ y devuelve otro en base a las siguientes reglas: $n + 1 = n^{*}$ y $n + m^{*} = (n+m)^{*}$.

Vamos a ver esto algo más a fondo. Por ejemplo, para $n = 1^{**}$ y $m = 1^{*}$ (es decir, $n$ es el siguiente al sucesor de $1$, luego debería ser tres, y $m$ es el sucesor de $1$, así que debería ser dos) dice que $$ n + m = 1^{**} + 1^{*} = (1^{**} + 1)^{*} = (1^{***})^{*} = 1^{****}. $$ Es decir, la suma de tres y dos es el cuarto sucesor de $1$, que en efecto es cinco.

El ejercicio ahora es definir la operación de multiplicación. La definición es muy parecida a la suma, y la primera propiedad es simplemente $n\cdot 1 = n$. ¿Pero cuál debe ser la segunda? ¿Cómo podemos definir $n \cdot m^{*}$?

Los postulados de Euclides

El matemático griego Euclides (325 a.C.-265 a.C.) es considerado por muchos como el padre de la geometría. En su gran trabajo, los Elementos, presenta una gran cantidad de resultados partiendo únicamente de cinco axiomas (sus postulados):

  1. Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.

  2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

  3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.

  4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

  5. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.

Uno de los grandes retos de las matemáticas durante muchos siglos fue demostrar que el Quinto Postulado no se puede demostrar a partir de los cuatro primeros. Este es el punto de partida de la geometría no euclídea.

A partir de estos cinco postulados, se pueden demostrar por ejemplo los teoremas de Tales y Pitágoras, o que la suma de los ángulos interiores de un triangulo es igual a la suma de dos ángulos rectos.

En general, los Elementos puede considerarse como el inicio de la matemática moderna: un trabajo sistemático basado en los postulados, de los que Euclides va deduciendo diferentes resultados, que a su vez usa más adelante, y todo hecho de manera muy formal (sin dejar de demostrar nada aunque pueda parecer evidente: en geometría, tus ojos te ayudan pero a veces también te engañan).

Si quieres practicar lo que significa trabajar con solo estos postulados, te recomendamos que visites euclidea.xyz, donde puedes realizar construcciones usando únicamente regla y compás.

¿Qué salidas tienen las matemáticas?

¡Muchas! Aquí te dejamos unos cuantos ejemplos de qué puedes hacer cuando acabes el grado.

  • Lo que ya conoces: ejercer de profesorado en institutos. Las matemáticas tienen un papel importantísimo en el desarrollo de la ciencia, y por lo tanto es importante que haya docentes con una buena formación impartiendo clases de matemáticas en secundaria y bachillerato.

  • Investigar: las matemáticas crecen y avanzan cada día, gracias al trabajo de muchas personas que investigan en matemáticas, ya sean puras o aplicadas. En esta categoría suele estar también la mayoría del profesorado universitario.

  • En la empresa privada, crear modelos matemáticos para intentar hacer predicciones. Por ejemplo, es muy frecuente encontrar ofertas de trabajo en bancos o empresas de inversión.

  • En ciencia de datos, buscar convertir la ingente cantidad de datos que se genera cada segundo en contenido con más sentido, y crear modelos para clasificar nuevas observaciones.

  • Diseñar experimentos que sean coherentes y cuyos resultados sean significativos, es decir, que aporten valor a las investigaciones, utilizando para ello herramientas estadísticas.

En general, te dedicarás a resolver problemas. Por lo tanto, tu entrenamiento durante el grado no estará enfocado en qué hacer al salir, sino en ser capaz de enfrentarte a problemas o a situaciones desconocidas, y saber utilizar las herramientas a tu disposición para dar una solución óptima.

El aumento en la nota de corte de carreras de matemáticas durante los últimos años no es casual: en tiempos de crisis, la tasa de paro más baja (menos del 10 %) corresponde a la población con estudios en matemáticas y otras ciencias. Junto con el auge del big data y la repercusión que tiene en la prensa, esto ha hecho que el grado en matemáticas sea ahora uno de los más demandados

¿Dónde puedes ver matemáticas?

La pregunta sería: ¿dónde no? Cada vez que haces una transacción segura por internet utilizas criptografía, al buscar en Google utilizas autovalores y autovectores. Herramientas médicas como la tomografía se basan en teoremas y resultados de análisis. Optimización para que los repartos de paquetería sean lo más rápidos posibles, cálculo numérico para encontrar tu posición con un GPS de manera casi instantánea, construcción de chips utilizando matemática discreta...

La ciencia y la tecnología no serían nada sin matemáticas.

Si quieres leer más, te recomendamos el artículo La irrazonable eficacia de la matemática en las ciencias naturales, del físico húngaro Eugene Wigner.